The Moon

数域与向量

Definition: 数域

一个集合 $\mathbb{K} \subseteq \mathbb{C}$ , 至少含有两个不同元素, 并且加, 减, 乘, 除法封闭.

Proposition

任一数域必包含有理数域 $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{Q}$ 是最小的数域.

Definition: $n$ 维行向量

一个有序数组即 $1 \times n$ 阶矩阵 $(a_1, \ldots, a_n)$ , 其中 $a_i$ 属于数域 $\mathbb{K}$ , $i = 1, \ldots, n$ .

Definition: $n$ 维列向量

一个有序数组即 $n \times 1$ 阶矩阵
$\begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}$
, 其中 $a_i$ 属于数域 $\mathbb{K}$ , $i = 1, \ldots, n$ .

线性空间

Definition: 线性空间

一个集合 $V$ , 在其上定义了加法 $+$ , 在 $V$ 与一个数域 $\mathbb{K}$ 之间定义了数乘, 满足:

$\alpha + \beta = \beta + \alpha$ ;

$(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$ ;

$\alpha + 0 = \alpha$ , $\exists\, 0 \in V$ , $\forall\, \alpha \in V$ ;

$\alpha + \beta = 0$ , $\exists\, \beta \in V$ , $\forall\, \alpha \in V$ ;

$1 \cdot \alpha = \alpha$ ;

$k(\alpha + \beta) = k\alpha + k\beta$ ;

$(k + l)\alpha = k\alpha + l\alpha$ ;

$k(l\alpha) = (kl)\alpha$ ,

其中 $\alpha, \beta, \gamma \in V$ , $k, l \in \mathbb{K}$ .

Example: 几类特别的线性空间

数域 $\mathbb{K}$ 上全体 $n$ 维行(列)向量集合 $\mathbb{K}^n$ ( $\mathbb{K}_n$ );

系数取自数域 $\mathbb{K}$ 上的一元多项式的全体 $\mathbb{K}[x]$ , 其中次数不大于 $n$ 的全体 $\mathbb{K}_n[x]$ .

Proposition

对于两数域 $\mathbb{K}_1$ 和 $\mathbb{K}_2$ , 若 $\mathbb{K}_1 \subseteq \mathbb{K}_2$ , 则 $\mathbb{K}_2$ 可被看作是 $\mathbb{K}_1$ 上的线性空间.

Proposition

零向量唯一.

Proof

$0_1 = 0_1 + 0_2 = 0_2$ .

□

Proposition

负向量唯一.

Proof

设 $\alpha + \beta_1 = 0$ , $\alpha + \beta_2 = 0$ , 则 $\beta_1 = \beta_1 + (\alpha + \beta_2) = (\beta_1 + \alpha) + \beta_2 = \beta_2$ .

□

Proposition

对任意 $\alpha, \beta, \gamma \in V$ (向量空间), 有:

若 $\alpha + \beta = \alpha + \gamma$ , 则 $\beta = \gamma$ ;

$0 \cdot \alpha = 0$ ;

$k \cdot 0 = 0$ ;

$(-1)\alpha = -\alpha$ ;

若 $k\alpha = 0$ , 则 $\alpha = 0$ 或 $k = 0$ .