第5章 坐标向量

坐标向量

Proposition

设 $n$ 维线性空间的一组基为 $\{e_1, \ldots, e_n\}$, 且 $\alpha = a_1e_1 + \cdots + a_ne_n = b_1e_1 + \cdots + b_ne_n$, 则 $a_i = b_i$, $i = 1, 2, \ldots, n$.

Proof

有 $(a_1 - b_1)e_1 + \cdots + (a_n - b_n)e_n = 0$, 而 $e_1, \ldots, e_n$ 线性无关, 故 $a_i = b_i$.

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Definition: 坐标向量

上述中 $\alpha$ 可被 $e_1, \ldots, e_n$ 的线性组合唯一表示, $(a_1, \ldots, a_n)$ 称为 $\alpha$ 的坐标向量.

同构

Definition: 同构

$V \cong U$. 设数域 $\mathbb{K}$ 上两线性空间 $V, U$, 如果存在 $V$ 到 $U$ 上的一个一一对应的映射 $\varphi$, 使得对任意 $\alpha, \beta \in V$, $k \in \mathbb{K}$ 均有: $\varphi(\alpha + \beta) = \varphi(\alpha) + \varphi(\beta)$, $\varphi(k\alpha) = k\varphi(\alpha)$.

Proposition

数域 $\mathbb{K}$ 上任一 $n$ 维线性空间 $V$ 均与 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维行（列）向量空间同构.

Proposition

设 $\varphi: V \to U$ 为线性空间的同构, 则有:

1. $\varphi(0) = 0$;
2. 经过 $\varphi$ 映射的向量组的线性相关性或线性无关性保持不变;
3. 同构关系是一个等价关系, 即 $V \cong V$; 若 $V \cong U$, 则 $U \cong V$; 若 $V \cong U$, $U \cong W$, 则 $V \cong W$;
4. 数域 $\mathbb{K}$ 上有限维线性空间同构的充要条件是其具有相同的维数.

Proof

(1) $\varphi(0) = \varphi(0 + 0) = \varphi(0) + \varphi(0)$, 则 $\varphi(0) = 0$.

(2) 由 $\varphi(k_1\alpha_1 + \cdots + k_n\alpha_n) = k_1\varphi(\alpha_1) + \cdots + k_n\varphi(\alpha_n)$ 和 $k_1\alpha_1 + \cdots + k_n\alpha_n = 0$ 及 $\varphi(0) = 0$ 得.

(3) 显然有 $\varphi(\alpha) = \alpha$, 取恒同映射; 设 $\varphi(\alpha) = x$, $\varphi(\beta) = y$, $\alpha, \beta \in V$, 则有 $\alpha = \varphi^{-1}(x)$, $\beta = \varphi^{-1}(y)$, 且 $\varphi(\alpha + \beta) = x + y$, $\varphi(k\alpha) = kx$, 于是 $\varphi^{-1}(x + y) = \alpha + \beta = \varphi^{-1}(x) + \varphi^{-1}(y)$, $\varphi^{-1}(kx) = k\alpha = k\varphi^{-1}(x)$; 设 $\varphi: V \to U$, $\psi: U \to W$, 则 $\xi = \psi \circ \varphi: V \to W$, 对 $\alpha \in V$, 有 $\xi(\alpha) = \psi(\varphi(\alpha))$, 则 $\xi(\alpha + \beta) = \psi(\varphi(\alpha + \beta)) = \psi(\varphi(\alpha) + \varphi(\beta)) = \psi(\varphi(\alpha)) + \psi(\varphi(\beta)) = \xi(\alpha) + \xi(\beta)$, $\xi(k\alpha) = \psi(\varphi(k\alpha)) = k\psi(\varphi(\alpha)) = k\xi(\alpha)$.

(4) 设 $V$ 和 $U$, $\dim V = n$, $\{e_1, \ldots, e_n\}$ 为 $V$ 的一组基, 则 $\{\varphi(e_1), \ldots, \varphi(e_n)\}$ 为 $U$ 的一组基, 故 $\dim U = n = \dim V$. 反之, 若 $\dim U = \dim V = n$, 则 $U, V$ 皆同构于 $\mathbb{K}^n$, 则 $V$ 和 $U$ 亦同构.

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Proposition

设 $\{e_1, \ldots, e_n\}$ 是线性空间 $V$ 的基, $\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ 是 $V$ 中向量, 它们在这组基下的坐标向量依次为 $\widetilde{\alpha}_1, \ldots, \widetilde{\alpha}_m$, 则向量组 $\alpha_i$ 和向量组 $\widetilde{\alpha}_i$ 具有相同的秩.

Proof

同构映射将 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_m\}$ 的极大无关组映为 $\{\widetilde{\alpha}_1, \ldots, \widetilde{\alpha}_m\}$ 的极大无关组, 故秩相同.

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