第2章 向量的线性关系

线性表示

Definition: 线性表示

$\beta = k_1\alpha_1 + \cdots + k_n\alpha_n$, 设 $V$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间, 对于 $\alpha_i, \beta \in V$, 存在 $k_i \in \mathbb{K}$.

Definition: $n$ 维标准单位行向量

$e_1 = (1, 0, \ldots, 0)$, $e_2 = (0, 1, \ldots, 0)$, $\ldots$, $e_n = (0, 0, \ldots, 1)$.

Proposition

任一 $n$ 维行向量 $\alpha = (a_1, \ldots, a_n)$ 均可由标准单位行向量 $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 线性表示, 即 $\alpha = a_1e_1 + \cdots + a_ne_n$.

Theorem

设向量组 $A = \{\alpha_1, \ldots, \alpha_m\}$, $B = \{\beta_1, \ldots, \beta_n\}$, $C = \{\gamma_1, \ldots, \gamma_p\}$ 满足: $A$ 中任一向量都是 $B$ 的线性组合, $B$ 中任一向量都是 $C$ 的线性组合, 则 $A$ 中任一向量都是 $C$ 的线性组合.

Proof

设 $\alpha_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\beta_j$, $\beta_j = \sum_{k=1}^{p} b_{jk}\gamma_k$, 则 $\alpha_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}(\sum_{k=1}^{p} b_{jk}\gamma_k) = \sum_{k=1}^{p}(\sum_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk})\gamma_k$.

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线性相关与线性无关

Definition: 线性相关

设 $V$ 是 $\mathbb{K}$ 上线性空间, 对于 $\alpha_i \in V$, 存在不全为零的 $k_i \in \mathbb{K}$, 使得 $k_1\alpha_1 + \cdots + k_n\alpha_n = 0$.

反之, 若不存在, 则称 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 线性无关.

Proposition: $n$ 维标准单位行向量线性无关

$n$ 维标准单位行向量线性无关.

Proof

设 $k_1e_1 + \cdots + k_ne_n = 0$, 则 $(k_1, \ldots, k_n) = 0$, 即 $k_1 = \cdots = k_n = 0$.

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Theorem

设 $V$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间, 若 $S$ 是只含一个向量 $\alpha$ 的向量组, 则 $S$ 线性相关的充要条件为 $\alpha = 0$; 又若向量组 $S$ 含有零向量, 则其线性相关.

Proof

由于 $k\alpha = 0$, $k \neq 0$, 则有 $\alpha = 0$, 反之亦然. 而有 $1 \cdot 0 + 0 \cdot \alpha_1 + \cdots + 0 \cdot \alpha_n = 0$.

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Theorem

若 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 线性相关, 则任一包含这组向量的向量组必线性相关; 若 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 线性无关, 则从中任取出一组向量必线性无关.

Proof

对前者, 有 $k_1\alpha_1 + \cdots + k_n\alpha_n + 0 \cdot \alpha_{n+1} + \cdots + 0 \cdot \alpha_{n+m} = 0$, 易知 $k_1, k_2, \ldots, k_m$ 不全为 $0$.

对后者, 反证法, 若存在其中一组线性相关, 则 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 线性相关, 矛盾.

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Theorem

设 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 是线性空间 $V$ 中一组向量, 则它们线性相关的充要必要条件是其中至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合.

Theorem

设 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n, \beta$ 是线性空间 $V$ 中的向量, 且 $\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n$, 则 $\beta$ 的这线性组合表示唯一的充要条件是 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 线性无关.

Proof

设 $\beta = k_1\alpha_1 + \cdots + k_n\alpha_n = h_1\alpha_1 + \cdots + h_n\alpha_n$, 则 $(k_1 - h_1)\alpha_1 + \cdots + (k_n - h_n)\alpha_n = 0$, 由于线性无关, 则 $k_i = h_i$. 反之, 若线性相关, 则存在不全为零的数 $c_1, \ldots, c_n$ 使得 $c_1\alpha_1 + \cdots + c_n\alpha_n = 0$, 则 $\beta$ 还可表示为 $\beta = (c_1 + k_1)\alpha_1 + \cdots + (c_n + k_n)\alpha_n$, 故而若表示唯一, 只能 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 线性无关.

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Theorem

设两 $n$ 维行向量 $\alpha = (a_1, \ldots, a_n)$, $\beta = (b_1, \ldots, b_n)$, 则 $\alpha, \beta$ 线性相关的充要条件是 $a_i, b_i$ 成比例.