第3章 向量组的秩

极大线性无关组

Definition: 极大线性无关组

设 $S$ 是向量族, 若在 $S$ 中存在一组向量 $\{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r\}$ 满足:

1. $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ 线性无关;
2. $S$ 中任意一个向量都可以用 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ 线性表示,

则称 $\{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r\}$ 是向量族 $S$ 的极大线性无关组.

Proposition

设 $S$ 是一个向量组且至少包含一个非零向量, 则 $S$ 的极大无关组一定存在.

Proof

设 $S$ 所含向量的个数为 $k$, 对 $k$ 用归纳法进行证明. 若 $k = 1$, 则 $S$ 由一个非零向量 $\alpha$ 组成, 于是 $\{\alpha\}$ 就是 $S$ 的极大无关组. 一般地, 若 $S$ 中的 $k$ 个向量线性无关, 那么这 $k$ 个向量就构成了 $S$ 的极大无关组. 若这 $k$ 个向量线性相关, 则至少有一个向量是其余向量的线性组合, 不妨设为 $\alpha$. 考虑向量组 $S \setminus \{\alpha\}$, 它所含向量的个数为 $k - 1$ 且至少包含一个非零向量 (否则容易推出 $S$ 只包含零向量), 由归纳假设知 $S \setminus \{\alpha\}$ 存在极大无关组 $\{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r\}$. 又 $\alpha$ 也可由 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ 线性表示, 因此 $\{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r\}$ 也是 $S$ 的极大无关组.

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Remark

一般来说, 向量族的极大无关组并不唯一.

Lemma

设 $A, B$ 是 $V$ 中两组向量, $A$ 含有 $r$ 个向量, $B$ 含有 $s$ 个向量, 且 $A$ 中每个向量均可用 $B$ 中向量线性表示. 如果 $A$ 中向量线性无关, 则 $r \leq s$.

Proof

我们用反证法. 设 $A = \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r\}$, $B = \{\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_s\}$. 假设 $r > s$, 我们来推出矛盾. 由已知, $A$ 中向量 $\alpha_1$ 可由 $B$ 中向量的线性组合来表示, 即存在数 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_s$, 使 $\alpha_1 = \lambda_1\beta_1 + \lambda_2\beta_2 + \cdots + \lambda_s\beta_s$. 因为 $A$ 中向量线性无关, 故 $\alpha_1 \neq 0$, 从而 $\lambda_i$ 中至少有一个不为零, 不妨假设 $\lambda_1 \neq 0$. 由上式解出 $\beta_1 = \frac{1}{\lambda_1}\alpha_1 - \frac{\lambda_2}{\lambda_1}\beta_2 - \cdots - \frac{\lambda_s}{\lambda_1}\beta_s$. 但对任意的 $\alpha_i$ ($i = 2, 3, \ldots, r$), 已知 $\alpha_i$ 可由 $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_s$ 的线性组合表示, 将上式代入 $\alpha_i$ 的表示式, 则 $\alpha_i$ 可由 $\alpha_1, \beta_2, \ldots, \beta_s$ 的线性组合表示. 这样, 我们可将 $B$ 中的向量 $\beta_1$ 换成 $\alpha_1$, 这时 $A$ 中任一向量仍可用 $B$ 中向量的线性组合来表示. 现在我们用归纳法, 设 $B$ 中向量已经换成 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_k; \beta_{k+1}, \ldots, \beta_s\}$, 且 $A$ 中任一向量都可以用 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_k; \beta_{k+1}, \ldots, \beta_s\}$ 的线性组合表示. 假设 $k < r$, 则 $\alpha_{k+1}$ 可表示为 $\alpha_{k+1} = \mu_1\alpha_1 + \cdots + \mu_k\alpha_k + \mu_{k+1}\beta_{k+1} + \cdots + \mu_s\beta_s$, 其中至少有一个 $\mu_i$ ($i = k+1, \ldots, s$) 不为零. 这是因为若 $\mu_{k+1} = \cdots = \mu_s = 0$, 则 $\alpha_{k+1}$ 可用 $\alpha_1, \ldots, \alpha_k$ 线性表示, 这与 $A$ 中向量线性无关矛盾. 不失一般性, 可设 $\mu_{k+1} \neq 0$. 用与上述相同的论证, 又可将 $\beta_{k+1}$ 换成 $\alpha_{k+1}$, 得到向量组 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_{k+1}; \beta_{k+2}, \ldots, \beta_s\}$, 且 $A$ 中任一向量都可以用这组向量的线性组合表示. 这一事实表明, 我们可将 $A$ 中向量依次换入 $B$ 中. 但 $r > s$, 因此可将 $A$ 中 $s$ 个向量换入 $B$ 中. 不妨设 $B$ 经调换以后的向量组为 $\{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s\}$, 则 $A$ 中向量 $\alpha_r$ 也可用 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s$ 的线性组合来表示, 从而向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s, \alpha_r\}$ 线性相关, 引出矛盾.

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Remark

上述引理的逆否命题概括为: 多'' 若可以用 少'' 来线性表示, 则 ``多'' 线性相关.

Lemma

设 $A, B$ 都是线性无关的向量组, 又 $A$ 中任一向量可用 $B$ 中向量的线性组合来表示, $B$ 中任一向量也可用 $A$ 中向量的线性组合来表示, 则这两组向量所含的向量个数相等.

Proof

设 $A$ 有 $r$ 个向量, $B$ 有 $s$ 个向量. 由引理得 $r \leq s$. 同理又有 $s \leq r$, 故 $r = s$.

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Theorem

设 $A$ 与 $B$ 都是向量族 $S$ 的极大线性无关组, 则 $A$ 与 $B$ 所含的向量个数相等.

向量族的秩

Definition: 秩

向量族 $S$ 的极大无关组所含的向量个数即 $r(S)$ 或 $\operatorname{rank}(S)$.

Definition: 等价向量组

若向量组 $A$ 和 $B$ 可以互相线性表示, 则称这两个向量组等价.

Theorem

等价的向量组有相同的秩.

Proof

设 $A_1$ 和 $B_1$ 分别是 $A$ 和 $B$ 的极大无关组, $A_1$ 有 $r$ 个向量, $B_1$ 有 $s$ 个向量, 则 $r(A) = r$, $r(B) = s$. 因为 $B_1$ 中向量均可用 $A$ 中向量线性表示, 而 $A$ 中向量均可用 $A_1$ 中向量线性表示, 故 $B_1$ 中向量均可用 $A_1$ 中向量线性表示, 再由引理可得 $s \leq r$. 同理可证 $r \leq s$, 于是 $r = s$.

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基与维数

Definition: 基与维数

设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间, 若在$V$中存在线性无关的向量 $e_1, e_2, \ldots, e_n$, 使得 $V$ 中任一向量均可表示为这组向量的线性组合, 则称 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ 是 $V$ 的一组基, 线性空间 $V$ 称为 $n$ 维线性空间 (具有维数 $n$). 如果不存在有限个向量组成 $V$ 的一组基, 则称 $V$ 是无限维线性空间.

Remark

显然, $V$ 中的一组极大线性无关组就是 $V$ 的一组基, $n$ 维线性空间任一组基都含有 $n$ 个向量. 如果 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, 则记为 $\dim_{\mathbb{K}} V = n$.

Example

$n$ 维标准单位行向量 $\{e_1 = (1, 0, \ldots, 0), e_2 = (0, 1, \ldots, 0), \ldots, e_n = (0, 0, \ldots, 1)\}$ 是 $n$ 维行向量空间 $\mathbb{K}^n$ 的一组基. 因此 $\dim_{\mathbb{K}} \mathbb{K}^n = n$. 同理, $n$ 维标准单位列向量 $\{e_1', e_2', \ldots, e_n'\}$ 是 $n$ 维列向量空间 $\mathbb{K}_n$ 的一组基, 因此 $\dim_{\mathbb{K}} \mathbb{K}_n = n$.

Proposition

$n$ 维线性空间 $V$ 中任一超过 $n$ 个向量的向量组必线性相关.

Proof

设 $V$ 的一组基为 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$, 且 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 为 $V$ 中 $m$ ($m > n$) 个向量, 则 $\alpha_i$ 均可由 $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 的线性组合来表示, 由引理的逆否命题知 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 线性相关.

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Theorem

设 $V$ 是 $n$ 维线性空间, $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 是 $V$ 中 $n$ 个向量. 若它们适合下列条件之一, 则 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ 是 $V$ 的一组基:

1. $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 线性无关;
2. $V$ 中任一向量均可由 $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 线性表示.

Proof

(1) 因为 $V$ 中任意 $n + 1$ 个向量一定线性相关, 故对 $V$ 中任一向量 $v$, 向量组 $e_1, e_2, \ldots, e_n, v$ 线性相关. 于是存在不全为零的数 $a_1, a_2, \ldots, a_n, c$, 使 $a_1e_1 + a_2e_2 + \cdots + a_ne_n + cv = 0$, 其中 $c \neq 0$. 事实上若 $c = 0$, 因为 $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 线性无关, 将导致 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = c = 0$, 与假设矛盾. 由 $c \neq 0$ 可得 $v = -\frac{a_1}{c}e_1 - \frac{a_2}{c}e_2 - \cdots - \frac{a_n}{c}e_n$. 因此 $v$ 可用向量组 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ 线性表示, 即 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ 是 $V$ 的一组基.

(2) 不妨设 $\{e_1, e_2, \ldots, e_r\}$ 是 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ 的极大无关组, 其中 $r \leq n$. 知 $V$ 中任一向量均可由 $e_1, e_2, \ldots, e_r$ 线性表示, 因此 $\{e_1, e_2, \ldots, e_r\}$ 是 $V$ 的一组基. 特别地, $r = \dim V = n$, 即 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ 是 $V$ 的一组基.

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Theorem: 基扩张定理

设 $V$ 是 $n$ 维线性空间, $v_1, v_2, \ldots, v_m$ 是 $V$ 中 $m$ ($m < n$) 个线性无关的向量, 又假设 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ 是 $V$ 的一组基, 则必可在 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ 中选出 $n - m$ 个向量, 使之和 $v_1, v_2, \ldots, v_m$ 一起组成 $V$ 的一组基.

Proof

将 $e_i$ ($i = 1, \ldots, n$) 依次放入 $\{v_1, v_2, \ldots, v_m\}$, 则必有一个 $e_i$, 使 $v_1, v_2, \ldots, v_m, e_i$ 线性无关. 这是因为若任一 $e_i$ 加入 $v_1, v_2, \ldots, v_m$ 后线性相关, 则每个 $e_i$ 可用 $v_1, v_2, \ldots, v_m$ 线性表示, 将和引理的结论矛盾. 现不妨设 $i = m + 1$. 若 $m + 1 < n$, 又可从 $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 中找到一个向量, 加入 $\{v_1, v_2, \ldots, v_m, e_{m+1}\}$ 后仍线性无关. 不断这样做下去, 便可将 $v_1, v_2, \ldots, v_m$ 扩张成为 $V$ 的一组基.

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Remark

$n$ 维线性空间 $V$ 中任意 $m$ ($m < n$) 个线性无关的向量均可扩张为 $V$ 的一组基, 或 $V$ 的任意一个子空间的基均可扩张为 $V$ 的一组基.